哈爾濱工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)科目是理學(xué)院數(shù)學(xué)系下設(shè)的在職研究生專(zhuān)業(yè)，哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院下設(shè)數(shù)學(xué)系、物理系、化學(xué)系，并建有哈工大現(xiàn)代光學(xué)研究所、數(shù)學(xué)研究所、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所、仿真算法研究所、物理實(shí)驗(yàn)中心、凝聚態(tài)科學(xué)與技術(shù)研究所、輻射與材料研究中心、稀土材料工程中心、化學(xué)實(shí)驗(yàn)中心、晶體研究室、精細(xì)化工研究室、陶瓷化學(xué)研究室等。哈爾濱工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)科目碩士研究生考試大綱如下：

　　一、考試要求

　　(一)多項(xiàng)式

　　1.理解數(shù)域，多項(xiàng)式，整除，最大公因式，互素，不可約，k重因式，重因式的概念。了解多項(xiàng)式環(huán)，微商，本原多項(xiàng)式，字典排序法，對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，齊次多項(xiàng)式，多項(xiàng)式函數(shù)等概念。

　　2.掌握整除的性質(zhì)，帶余除法定理，最大公因式定理，互素多項(xiàng)式的判別與性質(zhì)，不可約多項(xiàng)式的判別與性質(zhì)，多項(xiàng)式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代數(shù)基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判別定理，對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式基本定理。

　　3.掌握無(wú)重因式的充要條件，的判別條件，Lagrange插值公式，復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域及有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解理論，有理多項(xiàng)式的有理根范圍。

　　4.掌握輾轉(zhuǎn)相除法，綜合除法。掌握化對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式為初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的方法。

　　(二)行列式

　　1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代數(shù)余子式的概念。

　　2.掌握行列式的性質(zhì)，按行、列展開(kāi)定理，Cramer法則，Laplace定理，行列式乘法公式。

　　3.會(huì)用行列式的性質(zhì)及展開(kāi)定理計(jì)算行列式，掌握計(jì)算行列式的基本方法。

　　(三)線性方程組

　　1.理解向量線性相關(guān)，向量組等價(jià)，極大無(wú)關(guān)組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎(chǔ)解系，解空間等概念。

　　2.掌握線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

　　3.掌握用行初等變換求解線性方程組的方法。

　　(四)矩陣

　　1.理解矩陣的概念、了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱(chēng)陣、反對(duì)稱(chēng)陣的概念及其性質(zhì)。

　　2.掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律。

　　3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質(zhì)。

　　4.掌握矩陣的初等變換、掌握初等矩陣的性質(zhì)，理解矩陣等價(jià)的概念，會(huì)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

　　5.理解分塊矩陣，掌握分塊陣的運(yùn)算及初等變換。

　　(五)二次型

　　1.二次型的概念及二次型的矩陣表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念及慣性定律。

　　2.掌握用合同變換、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

　　3.掌握二次型和對(duì)應(yīng)矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及其判別法。

　　(六)線性空間

　　1.理解線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數(shù)，坐標(biāo)，過(guò)渡矩陣，子空間的和與直和等概念。了解線性空間同構(gòu)的概念。

　　2.掌握基擴(kuò)張定理，維數(shù)公式，掌握直和的充要條件。

　　3.會(huì)求基底，維數(shù)，坐標(biāo)，過(guò)渡矩陣。

　　(七)線性變換

　　1.理解線性變換，特征值，特征向量，特征多項(xiàng)式，特征子空間，不變子空間，線性變換的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jardan標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式等概念。

　　2.掌握線性變換的性質(zhì)，相似矩陣的性質(zhì)，特征值、特征向量的性質(zhì)，核空間與值域的性質(zhì)，不變子空間的性質(zhì)。掌握Hamilton-Cayley定理及將線性空間V分解成A-不變子空間的條件和方法，了解最小多項(xiàng)式理論。

　　3.掌握線性變換的矩陣表示方法，求線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相似對(duì)角化的條件與方法。掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法，會(huì)用各種特殊子空間解決相關(guān)問(wèn)題。

　　(八)矩陣

　　1.理解矩陣、可逆矩陣、矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念，了解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。

　　2.掌握矩陣可逆的充要條件，矩陣等價(jià)的充要條件，數(shù)字矩陣相似的充要條件，了解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)。

　　3.會(huì)求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及不變因子。會(huì)求數(shù)字矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

　　(九)歐幾里得空間

　　1.掌握內(nèi)積，歐氏空間，向量長(zhǎng)度、夾角、距離，度量矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交補(bǔ)，正交變換，正交陣，對(duì)稱(chēng)變換，同構(gòu)等概念。

　　2.掌握Schmidt正交化方法。掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)，正交變換的性質(zhì)，正交陣的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)形。

　　3.掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值、特征向量的性質(zhì)。會(huì)用正交相似變換將實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相似(合同)對(duì)角化。

　　二、考試內(nèi)容

　　注：本文中“章”、“節(jié)”均指《高等代數(shù)》(北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室，高等教育出版社，第三版，2003年)中的“章”、“節(jié)”

　　1)多項(xiàng)式(第一章1-11節(jié))

　　2)行列式(第二章1-8節(jié))

　　3)線性方程組(第三章1-6節(jié))

　　4)矩陣(第四章1-7節(jié))

　　5)二次型(第五章1-4節(jié))

　　6)線性空間(第六章1-8節(jié))

　　7)線性變換(第七章1-9節(jié))

　　8)矩陣(第八章1-6節(jié))

　　9)歐幾里得空間(第九章1-6節(jié))

　　三、試卷結(jié)構(gòu)

　　1)考試時(shí)間：180分鐘，滿(mǎn)分：150分

　　2)題型結(jié)構(gòu)

　　a: 填空與選擇 20%左右

　　b: 解答題(包括計(jì)算題和證明題) 80%左右

　　四、在職研究生參考書(shū)目

　　《高等代數(shù)》，北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室，高等教育出版社，2003年，第三版