高等代數(shù)研究生考試大綱

一、考試要求

1、掌握基本的代數(shù)運算方法，包括：行列式的計算，矩陣運算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線性方程組解的判定及求解，多項式運算（帶余除法，輾轉相除法，綜合除法）等、

2、掌握基本的代數(shù)分析技巧，包括：向量的線性相關和線性無關性，向量空間的基與維數(shù)，線性方程組解的結構, 線性變換和矩陣的關系，方陣可相似對角化的判定,對稱矩陣與二次型，一元多項式的整除性及因式分解、

3、掌握代數(shù)的基本幾何背景，理解代數(shù)與幾何的關系，包括：歐氏空間和酉空間，正交變換與正交矩陣, 對稱變換與對稱矩陣, 主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程、

二、高等代數(shù)研究生考試內(nèi)容  

第一部分 多項式

1、一元多項式的定義和基本運算；

2、多項式的帶余除法與綜合除法，多項式整除性的常用性質(zhì)；

3、多項式的最大公因式概念及性質(zhì)，輾轉相除法；

4、不可約多項式的概念及性質(zhì)，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式；

5、多項式函數(shù)與多項式的根的概念及性質(zhì)；

6、代數(shù)基本定理，復數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解定理，Vieta定理；

7、整系數(shù)多項式的有理根，Eisenstein判別法； 

8、多元多項式概念及字典排列法，對稱多項式、

第二部分  行列式

1、線性方程組和行列式的關系，排列、n階行列式及其子式和代數(shù)余子式；

2、行列式的性質(zhì)及行列式的基本計算方法；

3、克拉默法則、

第三部分  線性方程組

1、線性方程組求解的消元法；

2、矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩；

3、線性方程組可解的判別法；

4、兩個多項式的結式和多項式的判別式、

第四部分  矩陣

1、矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算法則；

2、逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質(zhì)，求可逆矩陣的逆矩陣的方法；

3、矩陣的分塊法，分塊矩陣的運算法則、

第五部分  向量空間

1、向量空間及子空間的定義；

2、向量組線性相關、線性無關的定義，向量組線性相關性的判定條件和性質(zhì)，向量組的極大無關組；

3、向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標變換式；

4、向量空間的同構及其性質(zhì)；

5、齊次線性方程組的解空間與基礎解系；線性方程組的結構式通解、

第六部分  線性變換

1、向量空間線性映射概念及其相關性質(zhì)；

2、線性變換的運算和矩陣的相似關系；

3、不變子空間及其性質(zhì)；

4、方陣的特征值和特征向量；

5、可以對角化的矩陣、　

第七部分  歐氏空間和酉空間

1、向量空間中向量的內(nèi)積、長度、夾角的定義及性質(zhì),規(guī)范正交基,Schmidt正交化方法；

2、正交變換與正交矩陣的定義和性質(zhì)；

3、對稱變換與實對稱矩陣，實對稱矩陣的正交相似對角化；

4、酉空間的定義及其基本性質(zhì)，酉變換和酉矩陣、

第八部分  二次型

1、二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系；

2、復數(shù)域和實數(shù)域上的二次型，用正交變換化實二次型為標準形的方法；

3、正定二次型與正定矩陣，實對稱矩陣正定的判定條件和性質(zhì)；

4、主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程、

參考書目

1、張禾瑞，郝鈵新《高等代數(shù)》（第四版）高等教育出版社；

2、北京大學數(shù)學系《高等代數(shù)》（第三版）高等教育出版社；

3、丘維聲《高等代數(shù)》（第二版）　高等教育出版社。在職研究生